найти интервалы монотонности y=2x²-x⁴ f (x) = ¼x⁴ - x²+5

1) Найдем интервалы монотонности функции y = 2x² - x⁴ используя первую производную.

y' = (2x² - x⁴) ' = 4x - 4x³ = 4x (1 - x²).

Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0 → 4x (1 - x²) = 0 → x₁ = 0 или x₂ = - 1; x₃ = 1.

Область определения функции, критическим точкам разделилась на три интервала:

(-∞; - 1) U (-1; 0) U (0; 1) U (1; ∞). Проверим знаки производной на каждом интервале:

y' (-2) = - 8 * (1 - 4) > 0 → функция возрастает;

y' (-1/2) = - 4 * (1 - 1/4) < 0 → функция убывает;

y' (1/2) = 4 * (1 - 1/4) > 0 → функция возрастает;

y' (2) = 8 * (1 - 4) < 0 → функция убывает.

Ответ: (-∞; - 1) U (-1; 0) U (0; 1) U (1; ∞).

2) Используя первую производную, найдем интервалы монотонности функции: f (x).

f' (x) = (¼x⁴ - x ² + 5) ' = x³ - 2x = (x² - 2) * x.

Находим нули производной: x₁ = 0 или x₂ = - √2; x₃ = √2.

Проверим знаки производной на интервалах:

при x∈ (-∞,-√2) y'<0 → функция убывает;

при x∈ (-√2,0) y'>0 → функция возрастает;

при x∈ (0,√2) y'<0 → функция убывает;

при x∈ (√2,∞) y'>0 → функция возрастает.