Известно, что шестизначное число 517*64 делится без остатка на три. Найти все X.

По критерию делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пусть данное число записывается в виде 517 А64.

Сумма цифр этого числа:

5 + 1 + 7 + А + 6 + 4 = 23 + А.

Следовательно, мы должны найти такие цифры А, что выражение

А + 23 делится на 3.

Заметим, что:

А + 23 = 3 * 7 + А + 2.

Значит, необходимо найти такие А, что А + 2 делится на 3.

Очевидно, что А может быть равным:

1, 4, 7.

При других значениях цифры А, выражение А + 23 на 3 не делится.

Ответ: 517164, 517464, 517764.