высота проведенная к гипотенузе прямоугльного теругольника делит ее в отношении 9:16 больший катет треугольника равен 120 см найдите площадь

Обозначим наш прямоугольный треугольник АВС, СН - высота, проведённая к гипотенузе, АС = 120 см, ВН: АН = 9 : 16.

Введём коэффициент пропорциональности k и получаем, что ВН = 9k, AH = 16k, гипотенуза АВ = ВН + AH = 9k + 16k = 25k.

Воспользовавшись свойством высоты, проведённой к гипотенузе, имеем:

CH = √ (AH * BH) = √ (16k * 9k) = √144k² = 12k.

Из прямоугольного треугольника СВН найдём по теореме Пифагора СВ:

CB = √ (CH² + BH²) = √ (144k² + 81k²) = √225k² = 15k.

В прямоугольном треугольнике АВС запишем, чему равен катет АС (по теореме Пифагора):

АС = √ (AB² - CB²) = √ (625k² - 225k²) = √400k² = 20k. По условию АС = 120 см.

20k = 120

k = 6.

CB = 15k = 15 * 6 = 90 (см).

Найдём площадь треугольника АВС:

S = 1/2 * AC * CB = 1/2 * 120 * 90 = 5400 (см²).

Ответ: площадь равна 5400 см².