При каких значениях параметра р неравенство px^2 + (2p+1) x - (2-p) <0 верно при всех значениях x?

Решение неверно, так как неверно раскрыта формула квадрата суммы двух выражений, должно быть 1, а не 4.

1. При p = 0 неравенство теряет главного члена:

px^2 + (2p + 1) x - (2 - p) < 0;

0 * x^2 + (2 * 0 + 1) x - (2 - 0) < 0;

x - 2 < 0;

x < 2;

x ∈ (-∞; 2).

Значение p = 0 не подходит, т. к. не все значения x являются корнями неравенства.

2. При p > 0 ветви параболы направлены вверх, следовательно, не все значения x являются корнями неравенства.

3. При p < 0 неравенство будет верно при всех значениях x, если дискриминант будет отрицательным:

D = b^2 - 4ac;

D = (2p + 1) ^2 + 4p (2 - p);

D = 4p^2 + 4p + 4 + 8p - 4p^2;

D = 12p + 4;

D < 0;

12p + 4 < 0;

12p < - 4;

p < - 4/12;

p < - 1/3;

p ∈ (-∞; - 1/3).

Ответ: при значениях p ∈ (-∞; - 1/3).