Решить систему уравнений: 5sinx=siny 3cosx+cosy=2

1. Преобразуем:

{5sinx = siny;

{3cosx + cosy = 2; {siny = 5sinx;

{cosy = 2 - 3cosx.

2. Возведем уравнения в квадрат и сложим их:

{sin^2y = 25sin^2x;

{cos^2y = (2 - 3cosx) ^2; sin^2y + cos^2y = 25sin^2x + (2 - 3cosx) ^2; 1 = 25sin^2x + 4 - 12cosx + 9cos^2x; 25sin^2x - 12cosx + 9cos^2x + 3 = 0; 25 - 25cos^2x - 12cosx + 9cos^2x + 3 = 0; 28 - 16cos^2x - 12cosx = 0; 4cos^2x + 3cosx - 7 = 0.

3. Решим относительно cosx:

D = 3^2 + 4 * 4 * 7 = 9 + 112 = 121; cosx = (-3 ± √121) / 8 = (-3 ± 11) / 8;

1) cosx = (-3 - 11) / 8 = - 14/8 < - 1 - нет решений;

2) cosx = (-3 + 11) / 8 = 8/8 = 1;

cosy = 2 - 3cosx; cosy = 2 - 3 * 1 = 2 - 3 = - 1.

4. Решение:

{cosx = 1;

{cosy = - 1; {x = 2πm, m ∈ Z;

{y = π + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: (2πm; π + 2πn), m, n ∈ Z.