Найдите наибольшее значение функции у=4ctgx+4x+3-2 П на отрезке (П/2; 3/4 П)

1. Производная ctgx:

(ctgx) ' = (cosx/sinx) ' = ((cosx) ' * sinx - cosx * (sinx) ') / sin^2x = (-sin^2x - cos^2x) / sin^2x = - 1/sin^2x.

2. Производная функции:

у = 4ctgx + 4x + 3 - 2π; у' = - 4/sin^2x + 4.

3. Критические точки:

-4/sin^2x + 4 = 0; 4/sin^2x = 4; sin^2x = 1; sinx = ±1; x = π/2 + πk, k ∈ Z.

4. Внутри отрезка [π/2; 3π/4] нет критических точек, наибольшее значение функции будет на концах отрезка:

у (π/2) = 4ctg (π/2) + 4 * π/2 + 3 - 2π = 2π + 3 - 2π = 3; у (3π/4) = 4ctg (3π/4) + 4 * 3π/4 + 3 - 2π = - 4 + 3π + 3 - 2π = π - 1. max (y) = 3.

Ответ: 3.