1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2, параллельно вектору а = (1,2,1), если М1 (2,2,1), М2 (3,3,2) 2) Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 4 х+2 у+3z+2=0; 4x+3y+4z+1=0

1) Выберем в искомой плоскости произвольную точку A (x, y, z).

Рассмотрим три вектора:

M₁ A = (x - 2; y - 2; z - 1);

M₁ M₂ = (3 - 2; 3 - 2; 2 - 1) = (1; 1; 1);

a = (1; 2; 1).

По условию все три вектора должны быть компланарны, то есть, при приведении их к общему началу, вектора лежат а одной плоскости.

Определитель третьего порядка составленный из их компонентов, по теории должен равняться нулю.

∆ = (x - 2) (1 * 1 - 2 * 1) - (y - 2) (1 * 1 - 1 * 1) + (z - 1) (1 * 2 - 1 * 1) = 0.

- x + 2 + z - 1 = 0;

Следовательно, искомая плоскость:

x - z = 1.

2) Пересечение двух не параллельных плоскостей задают уравнение прямой.

4 х + 2 у + 3 z + 2 = 0;

4 x + 3 y + 4 z + 1 = 0.

Перепишем систему уравнений.

4 х + 2 у = - 3 z - 2;

4 x + 3 y = - 4 z - 1.

Вычтем из второго уравнения первое уравнение:

y = - z + 1;

Подставим это значение y в первое уравнение:

4 х + 2 ( - z + 1) = - 3 z - 2;

4 х + 2 ( - z + 1) = - z - 4;

x = - z/4 - 1.

Запишем уравнение прямой, заданной параметрически от t.

x = - t/4 - 1.

y = - t + 1.

z = t.

Найдём t для каждого уравнения:

t = - 4 x - 4;

t = - y + 1;

t = z;

Каноническое уравнение прямой:

- 4 x - 4 = - y + 1 = z.