Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведённой к графику функции у=√2 х² - 4 в точке х0=2.

Вначале найдем уравнение касательной.

Производная функции у (x) = √2 х² - 4 равна у' = √2 * х, в точке x0 = 2 y' (x0) = 2√2.

Значит, уравнение касательной имеет вид y = 2√2 * x + b,

Значение функции в точке x0 равно y (x0) = √2 * 2² - 4 = 4√2 - 4, значит 2√2 * 2 + b = 4√2 - 4.

Отсюда b = - 4.

Значит прямоугольный треугольник ограничен осями координат и прямой y = 2√2 * x - 4.

Найдем длины его катетов, для чего найдем точки пересечения y = 2√2 * x - 4 с осями координат.

y (0) = 2√2 * 0 - 4 = 0 - 4 = - 4. Значит, длина первого катета равна |-4| = 4.

0 = 2√2 * x - 4, отсюда x = 4 / 2√2 = 4√2 / (2 * 2) = √2.

Значит длина второго катета равна |√2| = √2.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

S = (4 * √2) / 2 = 2√2.

Ответ: 2√2.