3. Найдите все значения х, при которых значения выражений 3 х - 2, 3 - х, 8 х являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. 4. Найдите сумму первых 95 членов арифметич. прогрессии, если ее шестой член равен - 23, а четырнадцатый - 27 5. Сумма седьмого и четвертого членов арифметической прогрессии равна 6. Пятый ее член на 12 больше второго. Найдите второй и третий члены этой прогрессии.

3. Решение.

Обозначим через d - разность арифметической прогрессии.

Известно, что d = a_n - a_n-1. Для нашего примера тогда: d = 3 - x - (3x - 2) = - 4x + 5.

С другой стороны, справедливо и следующее:

d = 8x - (3 - x) = 9x - 3.

Эти два равенства представляют одну и туже разность, поэтому справедливо следующее равенство:

- 4x + 5 = 9x - 3; откуда 13x = 8; x = 8/13.

Теперь определяем d = 33/13.

Числа 3x - 2 = - 2/13, 3 - x = 31/13 и 8x=64/13 действительно являются членами арифметической прогрессии, так как удовлетворяют определению арифметической прогрессии, так как 31 / 13 = - 2 / 13 + 33 / 13 и 64 / 13 = 31 / 13 + 33 / 13.

Ответ: x = 8/13.

4. Решение.

По определению арифметической прогрессии a_n = a_n-1 + d или a_n = a₁ + (n-1) d.

Используя это определяем a₁₄ = a₆ + (14 - 6) * d, a₁₄ = a₆ + 8 * d.

По условию задачи а₆ = - 23 и а₁₄ = - 27, то для определения знаменателя прогрессии d получаем уравнение - 23 + 8d = - 27, откуда d = - 1/2.

Зная формулу суммы первых n членов прогрессии можно записать следующее равенство для суммы первых 95 членов прогрессии:

S₉₅ = 95 * (a₁+a₉₅) / 2.

Чтобы воспользоваться этой формулой найдем первый и 95 члены прогрессии:

a₁ = a₆ - 5d = - 23 - 5 * (-1/2) = - 20,5.

a₉₅ = a₁ + 94*d = - 20,5 + 94 * (-1/2) = - 67,5.

Подставим найденные значения в формулы и находим суммы первых 95 членов прогрессии:

S₉₅=95 * (-20,5-67,5) / 2=-4180.

Ответ: сумма первых 95 членов прогрессии: - 4180.

Решение.

С одной стороны a₅ = a₂ + 3d, а с другой, по условию задачи a₅ = a₂ + 12.

Из этого условия находим знаменатель прогрессии d:

a₂ + 3d = a₂ + 12 = > d = 4.

Еще нам известно, что a₄ + a₇ = 6.

Заменим седьмой член прогрессии на a₄+3d получим;

a₄ + a₄ + 3d = 2a₄ + 12 или 2a₄ + 12 = 6 из этого равенства находим a₄ = - 3.

Тогда a₃ = a₄ - d = - 3 - 4 = - 7;

a₂ = a₃ - d = - 7 - 4 = - 11.

Ответ: a₂ = - 11, a₃ = - 7.