Чему равна сумма семи первых членов геометрической прогрессии () bn, если b1 = 6, b6 = 192?

Запишем краткое условие задачи.

нам задан первый член геометрической прогрессии (b_n) b₁ = 6; шестой член геометрической прогрессии равен b₆ = 192; найдем сумму семи первых членов геометрической прогрессии. Проанализируем условие и наметим ход решения

Для того, чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии нужно знать значение знаменателя геометрической прогрессии.

Его мы можем найти из формулы нахождения n - го члена пропорции.

Ну и далее не составит особой сложности найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии.

Решаем задачу по намеченному плану

Итак, для того, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии b_{n + 1} = b_n * q, где b_n ≠ 0, q ≠ 0 вспомним формулу для нахождения n - го члена пропорции:

b_n = b₁ * q^ (n - 1)

Подставляем значения b₁ = 6 и b₆ = 192 в формулу и находим, решив полученное уравнение, знаменатель прогрессии.

192 = 6 * q^ (6 - 1);

192 = 6 * q^5;

Разделим на 6 обе части уравнения:

q^5 = 192 : 6;

q^5 = 32;

q^5 = 2^5;

q = 2.

Знаменатель геометрической прогрессии равен q = 2.

Вспомним формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:

S_n = (b₁ (q^n - 1)) / (q - 1), при условии что q ≠ 1.

Для того, чтобы ответить на вопрос задачи у нас есть все необходимые значения. Подставим и вычислим.

S₇ = (6 (2^7 - 1)) / (2 - 1) = (6 * (2^7 - 1)) / 1 = (6 * (128 - 1)) / 1 = (6 * 127) / 1 = 762;

Итак, сумма семи первых членов геометрической прогрессии найдена и она равна 762.

Ответ: сумма семи первых членов геометрической прогрессии равна 762.

Решение.

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 · q n-1;

b6 = 6 · q^ 5 = 192;

q^ 5 = 192 : 6 = 32;

q = 2;

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

Sn = b1 (q n-1) / (q - 1);

S7 = 6 * (27 - 1) / (2 - 1) = 6 * (128 - 1) / (2 - 1) = 6 * 127 = 762.

Ответ. Сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна 762.