В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна - 63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия b₁, b₂, ..., b_n и S₃ = 9, S₆ = - 63. Найти S₁₀. Пусть q - знаменатель прогрессии. Воспользуемся формулами: b_n = b₁ * q^{n - 1}, S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), b_n = b_m * q^{n - m}. Поскольку, b₄ = b₁ * q³, b₅ = b₂ * q³, b₆ = b₃ * q³, имеем: b₄ + b₅ + b₆ = (b₁ + b₂ + b₃) * q³ = S₃ * q³ = 9 * q³. S₆ = S₃ + 9 * q³ = - 63 или q³ = - 8, откуда q = - 2. S₃ = b₁ * (1 - (-2) ³) / (1 - (-2)) = 9, откуда b₁ = 3. Вычислим S₁₀ = 3 * (1 - (-2) ¹⁰) / (1 - (-2)) = - 1023.

Ответ: - 1023.