6. Все члены геометрической прогрессии - различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350. а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

1. Для N = 4 укажем решение:

q = 7/6;

b1 = 6^3 = 216; b2 = b1 * q = 6^3 * 7/6 = 6^2 * 7 = 252; b3 = b2 * q = 6^2 * 7 * 7/6 = 6 * 7^2 = 294; b4 = b3 * q = 6 * 7^2 * 7/6 = 7^3 = 343.

2. Рассмотрим случай N = 5. Поскольку члены прогрессии - натуральные числа, то знаменатель можно представить в виде несократимой дроби:

q = m/n, где m и n - взаимно простые числа.

Тогда получим:

b5 : b1 = q^4 = (m/n) ^4.

Очевидно, один из членов прогрессии содержит четвертую степень m, а другой - четвертую степень n. Следовательно, они удовлетворяют условиям:

m^4 ≤ 350; n^4 ≤ 350, или m ≤ 4; (1) n ≤ 4. (2)

3. Если рассмотрим возрастающую прогрессию, то получим:

q^4 = b5/b1 ≤ 350/210 = 5/3; q ≤ (5/3) ^ (1/4) < 1,2. (3)

Учитывая условия (1) и (2), и что m > n, возможны следующие несократимые дроби:

a) n = 1 = > q > 1,2; b) n = 2, m = 3 = > q = 3/2 > 1,2; c) n = 3, m = 4 = > q = 4/3 > 1,2.

Ни одно значение не удовлетворяет условию (3), значит, для N = 5 нет решения.

Ответ:

a) может; b) не может.