Исследовать функцию : f (x) = 2/3x^3 - 8x

f (x) = 2/3x³ - 8x

1. Это квадратичная функция

2. Найдем область определения и область значений.

D (f) = R, х любое число

E (f) = R, у любое число

3. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0

2/3x³ - 8x = 0

х (2/3x² - 8) = 0

х₁ = 0

2/3x² - 8 = 0

2/3x² = 8

x² = 8 * 3/2 = 12

х₂ = - кв. корень из 12

х₃ = + кв. корень из 12

График функции пересекает ось х в точках ( - кв. корень из 12), 0 и (кв. корень из 12)

4. Определим четность функции.

f (x) = 2/3x³ - 8x

f ( - x) = 2/3 (-x) ³ - 8 (-x) = - 2/3x³ + 8x = - (2/3x³ - 8x)

f (x) равно - f ( - x), значит функция нечетная

5. Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график пересекает ось х в точках ( - кв. корень из 12), 0 и (кв. корень из 12), поэтому подставляем любые числа из промежутков ( - бесконечность; - корень из 12), (-корень из 12; 0), (0; корень из 12) и (корень из 12; + бесконечность) и расставляем знаки.

у > 0 на промежутках (-корень из 12; 0) и (корень из 12; + бесконечность)

у < 0 на промежутке ( - бесконечность; - корень из 12) и (0; корень из 12)

6. Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции

f (x) = 2/3x³ - 8x

f' (x) = 2 х² - 8

Приравняем производную к нулю.

2 х² - 8 = 0

2 х² = 8

х² = 4

х = 2

х = - 2

Подставляем любые числа из промежутков ( - бесконечность; - 2), ( - 2; 2) и (2; + бесконечность), находим знаки.

( - бесконечность; - 2) плюс, функция возрастает

( - 2; 2) минус, функция убывает

(2; + бесконечность) плюс, функция возрастает

7. Экстремумы функции.

х_min = 2

x_max = - 2