какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого 96 Pi см ^2, чтобы его объем был наибольшим?

Sпол = 96 * П см^2.

r - ?

h - ?

Площадь полной поверхности цилиндра Sпол определяется формулой: Sпол = 2 * П * r^2 + 2 * П * r * h, где П - числа пи, r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

П * r * h = Sпол/2 - П * r^2.

Объем цилиндра определяется формулой: V = П * r^2 * h.

V = П * r^2 * h = П * r * h * r = (Sпол/2 - П * r^2) * r = Sпол * r/2 - П * r^3.

V = 48 * П * r - П * r^3.

Найдём производную и приравняем её к нулю: V" (r) = (48 * П * r - П * r^3) " = 48 * П - 3 * П * r^2.

48 * П - 3 * П * r^2 = 0.

48 = 3 * r^2.

r^2 = 16.

r1,2 = ± 4.

Радиус не может быть отрицательным, поэтому r = 4 см.

h = (Sпол - 2 * П * r^2) / 2 * П * r.

h = (96 * П - 2 * П * 16) / 2 * П * 4 = 8 см.

Ответ: при r = 4 см и h = 8 см объем цилиндра будет максимальным.