Решите уравнение. Cos10x*cos6x-cos^2 8x=0

Решение:

Используя уравнение тригонометрии cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2 преобразуем исходное уравнение:

cos 10x * cos 6x - (1 + cos 16x) / 2 = 0;

cos 10x * cos 6x-1/2-cos 16x/2 = 0;

Используя уравнение тригонометрии cos x * cos y = (Cos (x - y) + Cos (x + y)) / 2 преобразуем исходное уравнение:

(cos 4x + cos 16x) / 2 - 1/2 - (cos 16x) / 2 = 0;

(cos 4x) / 2 + (cos 16x) / 2 - 1/2 - (cos 16x) / 2 = 0;

(cos 4x) / 2 - 1/2 = 0;

(cos 4x) / 2 = 1/2;

cos 4x = 1;

cos принимает значение 1 при значении угла равного 0, поэтому:

4x=0;

x=0;

Ответ: x=0.

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение cos (10x) * cos (6x) - cos^2 (8x) = 0 используя тригонометрические тождества.

Составим алгоритм действий для решения уравнения вспомним формулу - косинус двойного угла и выразим из нее cos^2 (x); заменим cos^2 (8x) выражением, полученным из формулы косинуса двойного угла; вспомним формулу - произведение косинусов и применим ее к произведению в уравнении; откроем скобки и приведем подобные; найдем значение переменной x. Решаем тригонометрическое уравнение cos (10x) * cos (6x) - cos^2 (8x) = 0

Одной из формул косинуса двойного угла есть формула: cos (2α) = 2cos^2 (α) - 1.

Выразим из формулы cos^2 (α).

2cos^2 (α) = cos (2α) + 1;

cos^2 (α) = (1 + cos (2α)) / 2.

Так же нам понадобится формула - произведение косинусов. Давайте вспомним ее.

cos (α) * cos (β) = 1/2 (cos (α + β) + cos (α - β)).

Применим формулы к нашему уравнению:

cos (10x) * cos (6x) - (1 + cos (16x)) / 2 = 0;

(cos (16x) + cos (4x)) / 2 - (1 + cos (16x)) / 2 = 0;

Умножим на 2 обе части уравнения и откроем скобки, используя правила открытия скобок перед которыми стоит знак " + " и знак " - ".

(cos (16x) + cos (4x)) - (1 + cos (16x)) = 0;

cos (16x) + cos (4x) - 1 - cos (16x) = 0;

cos (4x) - 1 = 0;

Переносим в правую часть уравнения - 1, сменив знак с минуса на плюс.

cos (4x) = 1;

А мы знаем, что cos принимает значение равное единице при значении угла равного нулю.

Переходим к решению линейного уравнения:

4x = 0;

Умножим на 1/4 обе части уравнения:

x = 0.

Корень уравнения найден x = 0.

Ответ: x = 0.