Известно что x^2+xy+y^2=x+y. Какое наибольшее значение может принимать выражение x^2+y^2

1. Обозначим:

x + y = p; xy = q.

2. Тогда исходное равенство запишется в виде:

x^2 + xy + y^2 = x + y; (x + y) ^2 - xy = x + y; p^2 - q = p, отсюда: q = p^2 - p.

При этом для Q = x^2 + y^2 получим:

Q (p) = (x + y) ^2 - 2xy = p^2 - 2q = p^2 - 2 (p^2 - p) = 2p - p^2 = - (p^2 - 2p + 1) + 1 = - (p - 1) ^2 + 1.

3. Квадратичная функция Q (p) достигает своего наибольшего значения при p = 1:

Q (max) = Q (1) = - (1 - 1) ^2 + 1 = 1.

4. Покажем, что существует такие числа x и y, для которых Q = 1:

{p = 1;

{q = 1^2 - 1 = 0; {x + y = 1;

{xy = 0; [x = 0; y = 1; [x = 1; y = 0.

Ответ: 1.