составьте уравнение касательной к графику функции у = 5/4 х^4/5+х^-3 в точке х=1

Для того, чтобы выполнить это задание воспользуемся уравнением касательной y = f (x₀) + f ꞌ (x₀) * (x - x₀) к графику функции y = f (x) в точке х₀. Дана функция y = у (х) = (5/4) * х^4/5 + х^-3. Надём производную yꞌ = [ (5/4) * х^4/5 + х^-3]ꞌ. Воспользуемся свойствами дифференцирования: (u + v) ꞌ = uꞌ + vꞌ, (С * u) ꞌ = С * uꞌ, (uⁿ) ꞌ = n * uⁿ ^{- 1}, где С и n - постоянные. Имеем yꞌ = yꞌ (х) = [ (5/4) * х^4/5]ꞌ + (х^-3) ꞌ = (5/4) * (4/5) * х^{4/5 - 1} + (-3) * х^{-3 - 1} = х^-1/5 - 3 * х^-4. Вычислим: у (1) = (5/4) * 1^4/5 + 1^-3 = 5/4 + 1 = 9/4 и yꞌ (1) = 1^-1/5 - 3 * 1^-4 = 1 - 3 = - 2. Итак, уравнение касательной у = 9/4 + (-2) * (х - 1) или 4 * у = 9 - 8 * х + 8, откуда 8 * х + 4 * у - 17.

Ответ: 8 * х + 4 * у - 17 = 0.