Решите уравнение 2sin2x - 4cosx + 3 sinx - 3 = 0 Укажите корни, принажлежащему отрезку [ пи; 5 пи/2]

В задании дано тригонометрическое уравнение 2 * sin (2 * x) - 4 * cosx + 3 * sinx - 3 = 0. Требуется определить все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5 * π/2]. Прежде всего, применяя формулу sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла), перепишем данное уравнение в виде 2 * 2 * sinx * cosx - 4 * cosx + 3 * sinx - 3 = 0. Первые две слагаемые в левой стороне этого уравнения позволяют вынести за скобки множитель 4 * cosx, а последние два - 3. Имеем: 4 * cosx * (sinx - 1) + 3 * (sinx - 1) = 0, откуда (4 * cosx + 3) * (sinx - 1) = 0. Анализ последнего уравнения показывает, что в левой стороне расположено произведение двух множителей. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, вместо последнего уравнения рассмотрим следующие два уравнения: 4 * cosx + 3 = 0 и sinx - 1 = 0. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности и по требованию задания, выделим среди решений те, которые принадлежат отрезку [π; 5 * π/2]. Первое уравнение можно переписать в виде cosx = - ¾. Это уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением и имеет следующие две серии решений: х₁ = arcos (-¾) + 2 * π * n и х₂ = - arcos (-¾) + 2 * π * m, где n и m - целые числа. Учитывая формулу arcos (-x) = π - arccosx, получим: х₁ = π - arcos (¾) + 2 * π * n = - arcos (¾) + (2 * n + 1) * π и х₂ = - (π - arcos (¾)) + 2 * π * m = arcos (¾) + (2 * m - 1) * π. Учитывая требование задания, решим для каждой серии решений соответствующие двойные неравенства. Для первой серии: π ≤ - arcos (¾) + (2 * n + 1) * π ≤ 5 * π/2 или π + arcos (¾) ≤ (2 * n + 1) * π ≤ 5 * π/2 + arcos (¾), откуда 1 + arcos (¾) / π ≤ 2 * n + 1 ≤ 2,5 + arcos (¾) / π. Далее, получаем arcos (¾) / (2 * π) ≤ n ≤ 0,75 + arcos (¾) / (2 * π). Заметим, что arcos (¾) ≈ 0,7227, тогда 0,75 + arcos (¾) / (2 * π) ≈ 0,75 + 0,1150 = 0,865. Это означает, что нет целого n, удовлетворяющего последнее двойное неравенство. Для второй серии: π ≤ arcos (¾) + (2 * m - 1) * π ≤ 5 * π/2 или π - arcos (¾) ≤ (2 * m - 1) * π ≤ 5 * π/2 - arcos (¾), откуда 1 - arcos (¾) / π ≤ 2 * m - 1 ≤ 2,5 - arcos (¾) / π. Далее, получаем 1 - arcos (¾) / (2 * π) ≤ m ≤ 1,75 - arcos (¾) / (2 * π). Учитывая arcos (¾) ≈ 0,7227, имеем 1 - arcos (¾) / (2 * π) ≈ 1 - 0,1150 = 0,885 и 1,75 - arcos (¾) / (2 * π) ≈ 1,75 - 0,1150 = 1,635. Это означает, что существует единственное целое m, удовлетворяющее последнее двойное неравенство: m = 1. Следовательно, нашли одно из искомых решений: х = arcos (¾) + (2 * 1 - 1) * π = arcos (¾) + π. Теперь рассмотрим второе уравнение из п. 2. Это уравнение равносильно простейшему тригонометрическому уравнению sinx = 1, которое имеет решение x = π/2 + 2 * π * k, где k - целое число. Решим двойное неравенство π ≤ π/2 + 2 * π * k ≤ 5 * π/2 или π/2 ≤ 2 * π * k ≤ 2 * π, откуда ¼ ≤ k ≤ 1. Очевидно, это двойное неравенство имеет единственное решение k = 1, которому соответствует следующее решение данного тригонометрического уравнения: х = π/2 + 2 * π * 1 = 5 * π/2. Это второе из всех возможных искомых решений; х = 5 * π/2.

Ответ: х = arcos (¾) + π и х = 5 * π/2.