Решите уравнение 2sin2x - 3cosx-3=0. (sin в квадрате) Укажите корни, принадлежащие отрезку [п; 3 п].

Переписывая формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество) в виде sin²α = 1 - cos²α, преобразуем данное уравнение: 2 * (1 - cos²x) - 3 * cosx - 3 = 0 или 2 * 1 - 2 * cos²x - 3 * cosx - 3 = 0, откуда 2 * cos²x + 3 * cosx + 1 = 0. Введём новую переменную у = cosx. Тогда наше уравнение превратится в квадратное уравнение 2 * у² + 3 * у + 2 = 0, которое имеет дискриминант D, равный D = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 > 0. Поскольку D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два различных корня: у₁ = (-3 - √ (1)) / (2 * 2) = - 4 : 4 = - 1 и у₂ = (-3 + √ (1)) / (2 * 2) = - 2 : 4 = - 1/2. Рассмотрим каждый корень квадратного уравнения по отдельности. А) При cosx = - 1, получим следующую серию решений данного уравнения: х = π + 2 * π * k, где k - целое число. Б) При cosx = - 1/2, имеем ещё две серии решений: х = 2 * (π/3) + 2 * π * m и х = - 2 * (π/3) + 2 * π * n, где m и n - целые числа. Теперь выделим все корни, принадлежащие отрезку [π; 3 * π]. Для первой серии: π ≤ π + 2 * π * k ≤ 3 * π или 0 ≤ 2 * π * k ≤ 2 * π, откуда 0 ≤ k ≤ 1. Это неравенство имеет два целых решения: k = 0 и k = 1. Следовательно, имеем два корня х = π и х = 3 * π. Аналогично, для второй серии: π ≤ 2 * (π/3) + 2 * π * m ≤ 3 * π или π/3 ≤ 2 * π * m ≤ 8 * (π/3), откуда 1/6 ≤ m ≤ 4/3. Это неравенство имеет одно целое решение: m = 1. Следовательно, имеем ещё один корень х = 8 * (π/3). Наконец, для третьей серии: π ≤ - 2 * (π/3) + 2 * π * n ≤ 3 * π или 5 * (π/3) ≤ 2 * π * n ≤ 11 * (π/3), откуда 5/6 ≤ n ≤ 11/6. Это неравенство также имеет одно целое решение: n = 1. Следовательно, имеем ещё один корень х = - 4 * (π/3).

Ответы: х = π + 2 * π * k; х = 2 * (π/3) + 2 * π * m; х = - 2 * (π/3) + 2 * π * n, где k, m и n - целые числа. Множеством решений, принадлежащих отрезку [π; 3 * π], является множество: {-4 * (π/3); π; 8 * (π/3); 3 * π}.