На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, ..., N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа 13; 28; 65,5; 125,5 и 225,5 в некотором порядке. Найдите N.

Обозначим число чисел в первой группе N1, во второй группе N2, в третьей группе N3, в четвертой группе N4, в пятой группе N5.

В первой группе оказались числа 1, 2, ... N1, они образуют арифметическую прогрессию, следовательно, их сумма равна:

(1 + N1) * N1 / 2.

Среднее арифметическое равно отношению суммы чисел к числу этих чисел, составим и решим уравнение:

((1 + N1) * N1 / 2) / N1 = 13;

(1 + N1) / 2 = 13;

N1 = 25.

Итак, в первой группе 25 чисел (целые числа от 1 до 25).

Во второй группе находятся числа 26, 27, ... 25 + N2 их сумма равна (26 + 25 + N2) * N2 / 2, составим уравнение аналогично тому как это делалось для нахождения числа чисел в первой группе:

((26 + 25 + N2) * N2 / 2) / N2 = 28;

(51 + N2) / 2 = 28;

N2 = 5.

Во второй группе 5 чисел (целые числа от 26 до 30).

Аналогично находим N3, N4, N5:

(31 + 30 + N3) / 2 = 65,5;

N3 = 70.

В третьей группе 70 чисел (целые числа от 31 до 100).

(101 + 100 + N4) / 2 = 125,5;

N4 = 50.

В четвертой группе 50 чисел (целые числа от 101 до 150).

(151 + 150 + N5) / 2 = 225,5;

N5 = 150.

В пятой группе 150 чисел (целые числа от 151 до 300), последнее из этих чисел равно N.

Ответ: 300.