Точка М лежит на гиперболе у = 60 : х и удалена от начала координат на расстояние, равное 13 единицам. Найдите координаты точки М.

Пусть точка М имеет координаты (х; у), поскольку её расстояние до точки (0; 0) равно 13, получим такое уравнение:

(х - 0) ² + (у - 0) ² = 13².

Или: х² + у² = 169.

Координаты этой точки подходят и в гиперболу: у = 60/х. Поэтому это второе уравнение.

Получим систему из двух уравнений:

х² + у² = 169; и у = 60/х.

Подставим второе в первое:

х² + (60/х) ² = 169,

Решим это уравнение:

х² + 3600/х² = 169, домножим на х².

х⁴ + 3600 = 169 х².

Введём замену: х² = а.

а² - 169 а + 3600 = 0.

D = 28561 - 14400 = 14161 = 119².

а1 = (169 + 119) / 2 = 144.

а2 = (169 - 119) / 2 = 25.

Обратная замена:

х² = 144, х1 = 12, х2 = - 12.

х² = 25, х3 = 5, х4 = - 5.

Найдём у:

у1 = 60 / 12 = 5;

у2 = 60 / (-12) = - 5;

у3 = 60 / 5 = 12;

у4 = 60 / (-5) = - 12.

Итого, получили четыре возможные точки М, которые удовлетворяют условию задачи!

Ответ: (12; 5), (-12; - 5), (5; 12), (-5; - 12).