Решите неравенство: 4^2x+2*4^x-24>0

4^2x + 2 * 4^x - 24 > 0.

1) Преобразуем выражение: (4^x) ^2 + 2 * 4^x - 24 > 0.

2) Произведем замену, пусть 4^x = а.

Тогда неравенство примет вид а^2 + 2a - 24 > 0.

3) Рассмотрим функцию у = а^2 + 2a - 24, это квадратичная функция, ветви вверх.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью х) : у = 0;

а^2 + 2a - 24 = 0.

4) Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 2; c = - 24;

D = b^2 - 4ac; D = 2^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100 (√D = 10);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (-2 + 10) / 2 = 8/2 = 4;

а₂ = (-2 - 10) / 2 = (-12) / 2 = - 6.

5) Отмечаем на числовой прямой точки - 6 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 6) и (4; + ∞).

То есть а 4.

6) Возвращаемся к замене 4^x = а.

Получается, что 4^x < - 6 (такого не может быть, число 4 в любой степени положительно).

И 4^x > 4;

4^x > 4^1;

x > 1.

Ответ: х принадлежит промежутку (1; + ∞).