Решить Уравнение 4cos²x+sinx-1=0

4cos²x + sinx - 1 = 0;

По основному тригонометрическому тождеству (cos²x + sin²x = 1) разложим cos²x:

4 (1 - sin²x) + sinx - 1 = 0;

4 - 4sin²x + sinx - 1 = 0;

- 4sin²x + sinx + 3 = 0;

Умножим обе части на - 1:

4sin²x - sinx - 3 = 0;

Теперь заменим sinx = t, где |t| ⩽ 1;

4t² - t - 3 = 0;

Решим квадратное уравнение с помощью свойства коэффициентов:

t₁ = 1 - удовлетворяет условию.

t₂ = - 3/4 - удовлетворяет условию.

Вернемся к обратной замене:

1. sinx = 1;

Это частный случай:

х = п/2 + 2 * п * n, n ∈ Z.

2. sinx = - 3/4;

Первое решение:

х = arcsin (-3/4) + 2 * п * n, n ∈ Z; х = - arcsin 3/4 + 2 * п * n, n ∈ Z.

Второе решение:

х = п - arcsin (-3/4) + 2 * п * n, n ∈ Z; х = п + arcsin 3/4 + 2 * п * n, n ∈ Z;

Ответ: х = п/2 + 2 * п * n, n ∈ Z, х = - arcsin 3/4 + 2 * п * n, n ∈ Z, х = п + arcsin 3/4 + 2 * п * n, n ∈ Z.