1+2 / (tg (x) + ctg (x)), если cos (x) + sin (x) = 1/3

1. Для удобства преобразований обозначим заданное выражение Z:

Z = 1 + 2 / (tgx + ctgx).

2. Выразим tgx и ctgx через sinx и cosx:

Z = 1 + 2 / (sinx / cosx + cosx / sinx).

3. Приведем дроби к общему знаменателю:

Z = 1 + 2 / ((sin^2 (x) + cos^2 (x)) / (sinx * cosx)).

4. Сумма квадратов sinx и cosx равна единице:

Z = 1 + 2 / (1 / (sinx * cosx));

Z = 1 + 2sinx * cosx;

Z = sin^2 (x) + cos^2 (x) + 2sinx * cosx;

Z = (sinx + cosx) ^2.

5. Подставим значение суммы sinx и cosx в полученное выражение:

sinx + cosx = 1/3;

Z = (sinx + cosx) ^2 = (1/3) ^2 = 1/9.

Ответ: 1/9.