Прибор состоит из двух элементов, исправность каждого из которых необходима для работы прибора в целом. Вероятность выхода из строя первого равна 0,8, а второго - 0,9. При включении прибора он вышел из строя. Найти вероятность того, что при этом вышел из строя только первый элемент

1. Пусть:

Ai - событие, что i-й элемент вышел из строя; Ai' - соответствующее противоположное событие; P (A1) = 0,8; P (A2) = 0,9; P (A1') = 0,2; P (A2') = 0,1.

2. Для каждого элемента существует два исхода, а для двух элементов - четыре исхода:

a) p1 = P (A1) * P (A2) = 0,8 * 0,9 = 0,72; b) p2 = P (A1) * P (A2') = 0,8 * 0,1 = 0,08; c) p3 = P (A1') * P (A2) = 0,2 * 0,9 = 0,18; d) p4 = P (A1') * P (A2') = 0,2 * 0,1 = 0,02.

3. Событию X, что прибор вышел из строя, благоприятствуют первые три исхода:

P (X) = p1 + p2 + p3; P (X) = 0,72 + 0,08 + 0,02 = 0,98.

4. Апостериорная вероятность события A2' (второй элемент не вышел из строя), при условии, что наступило событие X (формула Байеса):

P (A2' | X) = P (A2') * P (X | A2') / P (X); P (A2' | X) = 0,1 * 1 / 0,98 ≈ 0,102.

Ответ: 0,102.