Найдите все такие значения b, при которых уравнение 2cos2x - cos4x = b имеет хотя бы один корень.

Воспользуемся формулой нахождения косинуса двойного угла. Из записи 2 * cos 2x - cos 4x = b получим равносильную запись:

2 * cos 2x - cos² 4x/2 + sin² 4x/2 = b, что равносильно

2 * cos 2x - cos² 2x + 1 - cos² 2x = b, отсюда:

2 * cos² 2x - 2 * cos 2x - 1 + b = 0.

Пусть cos 2x = y, тогда область допустимых значений - 1 ≤ y ≤ 1.

2y² - 2y + b - 1 = 0.

D = 2² - 2 * 4 * (b - 1) = 4 - 8b + 8 = 12 - 8b.

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень 12 - 8b ≥ 0. То есть 8b ≤ 12, b ≤ 12/8, b ≤ 1,5.

y1 = (2 + √ (12 - 8b)) / 4 > 0 для любого b ≤ 1,5.

Тогда (2 + √ (12 - 8b)) / 4 ≤ 1, отсюда: 2 + √ (12 - 8b) ≤ 4, то есть:

√ (12 - 8b) ≤ 2; 12 - 8b ≤ 4; 8 ≤ 8b; То есть 1 ≤ b.

y2 = (2 - √ (12 - 8b)) / 4. следовательно: - 4 ≤ 2 - √ (12 - 8b) ≤ 4, отсюда:

-6 ≤ - √ (12 - 8b) ≤ 2, что равносильно:

-6 ≤ - √ (12 - 8b), так как - √ (12 - 8b) < 0 для любого b ≤ 1,5.

Отсюда: √ (12 - 8b) ≤ 6, следовательно, 12 - 8b ≤ 36. То есть - 24 ≤ 8b; - 3 ≤ b.

Тогда с учетом y1 и y2 имеем: b ∈ [1; 1,5] U [-3; 1,5], то есть b ∈ [-3; 1,5].

Ответ: b ∈ [-3; 1,5].