Докажите, что последовательность B (n) является геометрической прогресией, если B (n) = 3/3^2-n. Найдите сумму первых 6 членов

Найдем отношение n+1-го член а B (n+1) данной последовательности к n-му члену B (n)

B (n+1) / B (n) = (3/3^{2 - (n+1)} ) / (3/3^2-n) = (3/3^2-n-1) ) / (3/3^2-n) = (1/3) * (3/3^2-n) / (3/3^2-n) = 1/3.

Следовательно, B (n+1) = (1/3) * B (n).

Это означает, что каждый член данной последовательности, начиная со второго равен предыдущему члену, умноженному на 1/3.

Следовательно, согласно определению геометрической прогрессии, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом B (1) = 3/3^2-1 = 1 и знаменателем q = 1/3.

Используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = B (1) * (1 - qⁿ) / (1 - q) при n = 6, находим сумму первых 6 членов данной последовательности:

S6 = 1 * (1 - (1/3) ⁶) / (1 - 1/3) = (1 - 1/729) / (2/3) = (728/729) / (2/3) = (728/729) * 3/2 = 364/243.

Ответ: сумма первых 6 членов данной последовательности равна 364/243.