Составьте уравнение касательной к графику функции y=-5x^1/5+3x, если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 2.

1. Угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс, равен значению производной функции в точке касания:

k = tgα = y' (x0) = 2.

2. Вычислим производную функции и приравняем к угловому коэффициенту:

y = - 5x^ (1/5) + 3x;

y' (x) = - 5 * (1/5) * x^ (1/5 - 1) + 3 = - x^ (-4/5) + 3;

y' (x0) = 2;

-x0^ (-4/5) + 3 = 2;

x0^ (-4/5) = 1;

1/x0^ (4/5) = 1;

(x0^ (1/5)) ^4 = 1;

x0^ (1/5) = ±1;

x0 = ±1.

3. Уравнение касательной:

y = y (x0) + k (x - x0);

a) x0 = - 1;

y (x0) = - 5x0^ (1/5) + 3x0 = - 5 * (-1) ^ (1/5) + 3 * (-1) = 5 - 3 = 2;

y = 2 + 2 (x + 1) = 2 + 2x + 2 = 2x + 4;

b) x0 = 1;

y (x0) = - 5x0^ (1/5) + 3x0 = - 5 * 1^ (1/5) + 3 * 1 = - 5 + 3 = - 2;

y = - 2 + 2 (x - 1) = - 2 + 2x - 2 = 2x - 4.

Ответ: y = 2x + 4; y = 2x - 4.