Докажите что выражение 4 х^2-4 ху+2 у^2 может принимать только неотрицательные значения

Представим 2 у^2 в виде суммы подобных слагаемых:

4 х^2 - 4 ху + 2 у^2 = 4x^2 - 4xy + у^2 + у^2.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности для выражения 4x^2 - 4xy + у^2:

4x^2 - 4xy + у^2 + у^2 = (2 х - у) ^2 + у^2.

Полученный результат не может принимать отрицательные значения, так как оба слагаемых могут быть только положительными (квадрат положительного и отрицательного числа может быть только положительным).