Докажите что при любых значениях х выражение х²+у²-2 х+4 у+5 принимает неотрицательные значения

Выделим полный квадрат из данного выражения. Поменяем местами слагаемые в данном выражении:

х^2 + у^2 - 2 * х + 4 * у + 5 = х^2 - 2 * х + у^2 + 4 * у + 5.

Воспользуемся формулами квадрата разности (a - b) ^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2 и квадрата суммы (a + b) ^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2.

Так как (x - 1) ^2 = x^2 - 2 * x + 1, (y + 2) ^2 = y^2 + 4 * x + 4, то:

х^2 - 2 * х + у^2 + 4 * у + 5 = х^2 - 2 * х + 1 + у^2 + 4 * у + 4 = (x - 1) ^2 + (y + 2) ^2.

Так как при возведении любого (положительного, отрицательного числа и нуля) числа во вторую степень получается положительное число или равное 0, то и сумма таких чисел будет положительна или равна 0. Следовательно, при любых значениях x исходное выражение положительно или равно 0, то есть неотрицательное.