Является ли арифметической прогрессией последовательность (аn), заданная формулой: 1) an = 3n+1; 2) an=n^2-5; 3) an=n+4; 4) an=1 / (n+4); 5) an=-0,5n+1; 6) an=6n

Если для каждого члена последовательности выполняется соотношение: а_n = (a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 (т. е. каждый член последовательности равен среднему арифметическому двух соседних ее членов), то данная последовательность является арифметической прогрессией. Проверим выполнение этого соотношения для каждого пункта задачи.

1) a_n = 3n + 1. Найдем формулу для n - 1-го и n + 1-го члена последовательности, подставив вместо n n - 1 и n + 1 соответственно:

a_{n - 1} = 3 * (n - 1) + 1 = 3 * n - 3 * 1 + 1 = 3n - 3 + 1 = 3n - 2;

a_{n + 1} = 3 * (n + 1) + 1 = 3 * n + 3 * 1 + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4.

Тогда (a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (3n - 2 + 3n + 4) / 2 = (6n + 2) / 2 = 3n + 1 = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

2) a_n = n² - 5.

a_{n - 1} = (n - 1) ² - 5 = n² + 1² - 2 * n * 1 - 5 = n² + 1 - 2n - 5 = n² - 2n - 4;

a_{n + 1} = (n + 1) ² - 5 = n² + 1² + 2 * n * 1 - 5 = n² + 1 + 2n - 5 = n² + 2n - 4;

(a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (n² - 2n - 4 + n² + 2n - 4) / 2 = (2n² - 8) / 2 = n² - 4 ≠ a_n. Значит, указанная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

3) a_n = n + 4;

a_{n - 1} = (n - 1) + 4 = n - 1 + 4 = n + 3;

a_{n + 1} = (n + 1) + 4 = n + 1 + 4 = n + 5;

(a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (n + 3 + n + 5) / 2 = (2n + 8) / 2 = n + 4 = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

4) a_n = 1 / (n + 4);

a_{n - 1} = 1 / ((n - 1) + 4) = 1 / (n - 1 + 4) = 1 / (n + 3);

a_{n + 1} = 1 / ((n + 1) + 4) = 1 / (n + 1 + 4) = 1 / (n + 5);

(a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (1 / (n + 3) + 1 / (n + 5)) / 2 = ((n + 5 + n + 3) / (n + 3) (n + 5)) / 2 = ((2n + 8) / (n + 3) (n + 5)) / 2 = (n + 4) / (n + 3) (n + 5) ≠ a_n. Значит, указанная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

5) a_n = 0,5n + 1;

a_{n - 1} = 0,5 (n - 1) + 1 = 0,5n - 0,5 + 1 = 0,5n + 0,5;

a_{n + 1} = 0,5 (n + 1) + 1 = 0,5n + 0,5 + 1 = 0,5n + 1,5;

(a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (0,5n + 0,5 + 0,5n + 1,5) / 2 = (n + 2) / 2 = 0,5n + 1 = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

6) a_n = 6n;

a_{n - 1} = 6 * (n - 1) = 6 * n - 6 * 1 = 6n - 6;

a_{n + 1} = 6 * (n + 1) = 6 * n + 6 * 1 = 6n + 6;

(a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (6n - 6 + 6n + 6) / 2 = (12n) / 2 = 6n = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.