Около квадрата со стороной 5 (корень из 2) описана окружность. Найдите сторону шестиугольника, описанного возле этой окружности.

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру окружности. Так как диагональ квадрата составляет с двумя смежными сторонами квадрата прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора диагональ равна: √ ((5√2) ² + (5√2) ²) = √ (25 * 2 + 25 * 2) = √100 = 10.

Значит, радиус окружности, описанной около квадрата, равна 10 : 2 = 5.

Опишем около окружности шестиугольник. Радиус окружности будет перпендикулярен стороне шестиугольника и будет являться высотой правильного треугольника, образованного двумя радиусами и стороной шестиугольника.

Обозначим сторону шестиугольника буквой а. По теореме Пифагора: а² - (a/2) ² = R².

а² - a²/4 = 100.

(4 а² - a²) / 4 = 100.

3a² = 400.

а² = 400/3.

а = √ (400/3) = 20/√3.

Ответ: сторона шестиугольника равна 20√3.