Решите неравенство (x-4) / (x+3) < (2x-1) / x

(x - 4) / (x + 3) < (2x - 1) / x.

Перенесем дробь справа в левую часть неравенства:

(x - 4) / (x + 3) - (2x - 1) / x < 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х (х - 4) - (2 х - 1) (х + 3)) / х (х + 3) < 0;

(х^2 - 4 х - (2 х^2 - х + 6 х - 3)) / х (х + 3) < 0;

(х^2 - 4 х - 2 х^2 + х - 6 х + 3) / х (х + 3) < 0;

(-х^2 - 9 х + 3) / х (х + 3) < 0.

Вынесем минус за скобку и умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

- (х^2 + 9 х - 3) / х (х + 3) < 0;

(х^2 + 9 х - 3) / х (х + 3) > 0.

Решим неравенство методом интервалов:

найдем корни неравенства:

х (х + 3) = 0; х = 0 и х = - 3.

х^2 + 9 х - 3 = 0; D = 81 + 12 = 93; х₁ = (-9 - √93) / 2 (~ - 9); х₂ = (-9 + √93) / 2 (~ 0,1).

Отмечаем на числовой прямой точки (-9 - √93) / 2, - 3, 0 и (-9 + √93) / 2, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) (-9 - √93) / 2 (-) - 3 (+) 0 (-) (-9 + √93) / 2 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; (-9 - √93) / 2), (-3; 0) и ((-9 + √93) / 2; + ∞).