Решения уравнения sin 4x = 0

В задаче требуется найти неизвестное х, для которого:

sin (4 * х) = 0;

Обозначим:

4 * х = β

Единичная окружность и синус угла

На координатной плоскости возьмем единичную окружность с центром в начале координат О. Эта единичная окружность с радиусом 1 пересекает оси Оx и Оу в точках:

A = (1; 0); B = (0; 1); C = (-1; 0); D = (0; - 1);

Возьмем на этой окружности точку M с координатами x₀ и y₀:

M = (x₀; y₀);

Угол, между радиусами окружности ОА и ОМ, обозначим через α. Угол α, отсчитанный от ОА к ОМ в направлении против движения часовой стрелки, считается положительным. Координату y₀ точки М на единичной окружности называют синусом угла α:

y₀ = sin (α);

Вычисление угла β

Для решения задачи:

определим точки на плоскости с ординатой 0; найдем точки на единичной окружности, у которых y₀ = 0; вычислим соответствующий угол β и найдем х.

Все точки на плоскости с ординатой 0 лежат на оси Ox, которая пересекает единичную окружность в точках A и С. Это означает, что нас устраивает два угла: нулевой угол (с совпадающими сторонами ОА) и развернутый угол в 180° между радиусами OA и ОС (в направлении против часовой стрелки). Если двигаться от точки А вдоль окружности по или против часовой стрелки, сделав n полных кругов вокруг начала координат, останавливаясь в точках А и С, то отмеренный таким образом угол β, равен:

β = 0° + n * 180° = n * 180°;

или в радианах

β = π * n;

где n - произвольное целое число (n ∈ Z).

Далее находим х:

4 * х = β = π * n;

х = π * n / 4

Ответ: х = π * n / 4; n ∈ Z

sin4x = 0, но также нам известно, что arcsin0 = 0. Имеем возможность уравнять левые части этих двух равенств.

4x = π * n, где π - это число Пи, и откуда имеем x = (п * n) / 4.

n ∈ ℤ, где буквой ℤ обозначается множество всех целых действительных чисел.

Ответ: n ∈ ℤ.