Lim x>0 ((2sin^2 x/2) / x^2)

Воспользуемся правилом Лопиталя lim (f (x) / g (x)) = lim (f (x)) ' / (g (x)) ' получаем:

lim (2sin^2 (x/2)) ' / (x^2) ' = lim (2 * 2 * sin (x/2) * cos (x/2)) / 2 * x.

Воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получим:

lim sin (x) / x = 1. (1-ый замечательный предел).