1) lim [ (x^2+2x-15) / (x^2-9) ], x->3. 2) lim { [ 2z] / [ 4 + z) ^1/2 - (4-z) ^1/2]}, z->0. 3) lim{[2-x^1/2]/[3 - (2x+1) 1/2]}, x->4. 4) lim{[x+27]/[ (x) ^1/3+3]}, x-> - 27

lim _x->3 (x² + 2x - 15) / (x² - 9);

В данном пределе неопределённость вида 0/0;

Распишем по формуле разности квадратов знаменатель дроби:

lim _x->3 (x² + 2x - 15) / ((x - 3) (x + 3));

Представим числитель в виде множителей, которые найдём делением многочлена на многочлен (x - 3):

lim _x->3 ((x - 3) (x + 5)) / ((x - 3) (x + 3));

Сократив (x - 3) получим предел, в котором нет неопределённости, подставим предельное значение x и найдём предел:

lim _x->3 (x + 5) / (x + 3) = 8/6 = 4/3.

Ответ: 4/3.

lim _z->0 (2z) / ((4 + z) ^1/2 - (4 - z) ^1/2);

Здесь неопределённость вида 0/0;

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое число ((4 + z) ^1/2 + (4 - z) ^1/2). Тогда в знаменателе станет выражение:

(4 + z) - (4 - z) = 2z;

Оно сократится с таким же выражением в знаменателе:

lim _z->0 ((4 + z) ^1/2 + (4 - z) ^1/2) = ((4 + 0) ^1/2 + (4 - 0) ^1/2) = 2 + 2 = 4.

Ответ: 4.

limx_->4 (2 - x^1/2) / (3 - (2x+1) ^1/2);

В данном пределе неопределённость вида 0/0;

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённые (2 + x^1/2) * (3 + (2x+1) ^1/2). Тогда в числителе и знаменателе получим выражения:

lim_->4 (4 - x) (3 + (2x+1) ^1/2) / (8 - 2x) (2 + x^1/2));

Вынесем множители не участвующие в неопределённости, подставить предельные значения:

6/4 * lim_->4 (4 - x) / (8 - 2x);

Вынесем 2 за скобки в знаменателе и сократим дробь:

6/4 * lim_->4 1/2 = 6/8 = 3/4.

Ответ: 3/4.

lim _{x-> - 27} (x + 27) / (x^1/3 + 3);

В данном пределе неопределённость вида 0/0;

Домножим числитель и знаменатель на (x^2/3 + 9 - 3x^1/3). Тогда согласно формуле суммы кубов:

(а + b) (a² + b² - ab) = а³ + b³;

lim _{x-> - 27} (x + 27) (x^2/3 + 9 - 3x^1/3) / (x + 27) = (x^2/3 + 9 - 3x^1/3) = 9 + 9 - 3 * (-3) = 27.

Ответ: 27.