Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат: Ф = sqrt (x) + sqrt (y) = sqrt (2), x=0, y=0, Ox

1. Значения x и y меняются в пределах:

x ∈ [0; 2]; y ∈ [0; 2].

2. Выразим y через x:

√x + √y = √2; √y = √2 - √x; y = (√2 - √x) ^2.

3. Объем тела вращения:

dV = πy^2dx; dV = π (√x - √2) ^4dx.

Пусть:

√x - √2 = t.

Тогда:

x1 = 0; t1 = - √2; x2 = 2; t2 = 0; √x = t + √2; 1/2√x * dx = dt; dx = 2√xdt = 2 (t + √2) dt; dV = πt^4 * 2 (t + √2) dt = 2π (t^5 + √2t^4) dt; V (t) = ∫2π (t^5 + √2t^4) dt; V (t) = 2π (t^6/6 + √2t^5/5); V (t1) = V (-√2) = 2π (8/6 - 8/5) = 16π (1/6 - 1/5) = 16π (5 - 6) / 30 = - 16π/30 = - 8π/15; V (t2) = V (0) = 0; V = V (t2) - V (t1) = 0 - (-8π/15) = 8π/15.

Ответ: 8π/15.