Y = 13 cos x + 14 sin x - 3 [-3 п/2; 0] найти наименьшее значение через производную

1. Находим производную функции:

y = 13cosx + 14sinx - 3; y' = - 13sinx + 14cosx.

2. Приравниваем к нулю и находим критические точки:

-13sinx + 14cosx = 0; 13sinx = 14cosx; tgx = 14/13; x = arctg (14/13) + πk, k ∈ Z.

3. Промежутку [-3π/2; 0] принадлежит единственная критическая точка:

x0 = arctg (14/13) - π.

4. Вычисляем sinx0 и cosx0 с учетом того, что в третьей четверти обе функции принимают отрицательные значения:

cosx = - 1/√ (1 + tg^2x) = - 1/√ (1 + (14/13) ^2) = - 1/√ (1 + 196/169) = - 1/√ (169 + 196) / 169)) = - 1/√ (365/169) = - 13/√365; sinx = cosx * tgx = - 13/√365 * 14/13 = - 14/√365.

5. Находим значение функции в критической точке и на границах отрезка:

y = 13cosx + 14sinx - 3; y (-3π/2) = 13cos (-3π/2) + 14sin (-3π/2) - 3 = 13 * 0 + 14 * 1 - 3 = 11; y (x0) = 13cosx0 + 14sinx0 - 3 = 13 * (-13/√365) + 14 * (-14/√365) - 3 = - 169/√365 - 196/√365 - 3 = - 365/√365 - 3 = - √365 - 3 ≈ - 22,1; y (0) = 13cos0 + 14sin0 - 3 = 13 * 1 + 14 * 0 - 3 = 10.

6. Наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2; 0]:

ymin = - √365 - 3.

Ответ: - √365 - 3 ≈ - 22,1.