Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 15 см. В треугольник вписан круг. Вычисли площадь вписанного круга. (π≈3; ответ округли до сотых).

1. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Известно, что центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.

Известно, что в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является и высотой и медианой.

2. В равностороннем треугольнике АВС из вершины В проведем биссектрису ВМ на сторону АС, а из вершины А проведем биссектрису АN. Получили точку их

пересечения точку О.

В образованном треугольнике АОМ угол АМО прямой (так как ВМ является

высотой).

3. Определим угол ОАМ в треугольнике АОМ.

Угол А = 180 : 3 = 60 градусов.

Угол ОАМ = 60 : 2 = 30 градусов.

4. В треугольнике АОМ найдем сторону АМ.

АМ = СА: 2 = 15 см: 2 = 7,5 см.

5. Найдем катет ОМ треугольника АОМ, лежащий против угла 30 градусов по тангенсу угла.

tg ОАМ = 3^1/2/3.

ОМ/АМ = tg ОАМ = 3^1/2 : 3;

ОМ = 3^1/2 : 3 * АМ = 3^1/2 : 3 * 7,5 = 3^1/2 * 2,5.

6. Площадь вписанной окружности равна П * R ^2 = П * ОМ^2 =

3 * (3^1/2 * 2,5) ^2 = 3 * 3 * 6,25 = 56,25 см^2.

Ответ: Площадь вписанной окружности равна 56,2 5 см^2.

.