Второй и четвертый члены убывающей геометрической прогрессии соответственно равны 343 и 1/7. Найдите третий член этой прогрессии.

В задании дана геометрическая прогрессия b_n, n = 1, 2, 3, 4, для которой известно, что b₂ = 343 и b₄ = 1/7, кроме того её знаменатель q удовлетворяет условиям 0 < q < 1. Необходимо определить b₃. Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии, которое гласит: "Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов, то есть (b_n) ² = b_{n - 1} * b_{n + 1}". При n = 3, имеем (b₃) ² = b_{3 - 1} * b_{3 + 1} или (b₃) ² = b₂ * b₄ = 343 * (1/7) = 49, откуда b₃ = ±7. Заметим, что если b₃ = - 7, то знаменатель q = b₃ : b₂ = - 7 : 343 = - 1/49 < 0, что противоречит условию 0 < q. Если b₃ = 7 то знаменатель q = b₃ : b₂ = 7 : 343 = 1/49 удовлетворяет условиям 0 < q < 1. Следовательно, третий член этой прогрессии равен 7.

Ответ: 7.