исследование функции y=3/x - 1/x^3

Question

Майя Кузнецова

Математика

6 сентября, 15:36

исследование функции y=3/x - 1/x^3

+5

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Timba · Answer 1

y = 3/x - 1/x³.

1) Область определения и область значений.

х - любое число, кроме 0 (на ноль делить нельзя). D (f) = (-∞; 0) и (0; + ∞).

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

3/x - 1/x³ = 0;

3/x = 1/x³;

3x³ = х; 3x³ - х = 0; х (3 х² - 1) = 0; х = 0 и 3 х² - 1 = 0; 3 х² = 1; х² = 1/3; х = ±√3/3.

График функции пересекает ось х в точках - √3/3, 0 и √3/3.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0 (нельзя подставить, на ноль делить нельзя).

График не пересекает ось у.

3) Определим четность функции.

f (x) = 3/x - 1/x³.

f ( - x) = 3 / (-x) - 1 / (-x) ³ = - 3/x + 1/x³ = - (3 / (-x) - 1 / (-x) ³).

f (x) равно - f ( - x), значит функция нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках - √3/3, 0 и √3/3.

(-∞; - √3/3) пусть х = - 2; f (-2) = 3 / (-2) - 1 / (-2) ³ = - 1,5 + 0,125 = - 0,875 (минус).

(-√3/3; 0) пусть х = - 1/2; f (-1/2) = 3 / (-1/2) - 1 / (-1/2) ³ = - 6 + 8 = 2 (плюс).

(0; √3/3) пусть х = 1/2; f (1/2) = 3 / (1/2) - 1 / (1/2) ³ = 6 - 8 = - 2 (минус).

(√3/3; + ∞) пусть х = 2; f (2) = 3 / (2) - 1 / (2) ³ = 1,5 - 0,125 = 0,875 (плюс).

у > 0 на (-√3/3; 0) и (√3/3; + ∞).

у < 0 на (-∞; - √3/3) и (0; √3/3).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = 3/x - 1/x³ = 3 х^(-1) - х^(-3).

f' (x) = - 3 х^(-2) + 3 х^(-4) = 3/х⁴ - 3/х².

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0;

3/х⁴ - 3/х² = 0; х не равен 0.

3/х⁴ = 3/х²; 3 х⁴ = 3 х²; 3 х⁴ - 3 х² = 0; 3 х² (х² - 1) = 0; х = 0 (не подходит), х = 1 и х = - 1.

Знаки интервалов: (-) - 1 (+) 1 (-), 0 - точка разрыва.

(-∞; - 1) производная (-), функция убывает.

(-1; 0) производная (+), функция возрастает.

(0; 1) производная (+), функция возрастает.

(1; + ∞) производная (-), функция убывает.

Значит, точки - 1 - это точка минимума, а 1 - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

f (x) = 3/x - 1/x³.

х_min = - 1; f (-1) = 3 / (-1) - 1 / (-1) ³ = - 3 + 1 = - 2.

х_max = 1; f (1) = 3/1 - 1/1³ = 3 - 1 = 2.