Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bn), в которой b2 = 6 и b4 = 54, если известно, что все ее члены положительны.

Пусть q - знаменатель данной геометрической прогрессии.

Тогда b2 и b4 связаны равенством:

b4 = b2 * q^2;

Так как все члены данной геометрической прогрессии положительны, то и ее знаменатель положительное число, найдем его:

q = √ (b4/b2) = √ (54/6) = √9 = 3.

Найдем первый член прогрессии:

b1 = b2/q = 6/3 = 2.

Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии, найдем сумму первых семи ее членов:

S7 = b1 * (1 - q^7) / (1 - q) = 2 * (1 - 3^7) / (1 - 3) =

= 2 * (1 - 2187) / ( - 2) = - (1 - 2187) = 2186.

Ответ: 2186.