При каких значениях параметра а один из корней 9x^2-18ax-8a+16=0 в два раза больше другого?

Дано квадратное уравнение 9 * x² - 18 * a * x - 8 * a + 16 = 0 с параметром а. Для того, чтобы данное квадратное уравнение имело два разных корня его дискриминант должно быть больше нуля. Вычислим D = (-18 * а) ² - 4 * 9 * (-8 * а + 16) = (-18) ² * а² + 36 * 8 * а - 36 * 16 = 324 * а² + 288 * а - 576. Имеем неравенство 324 * а² + 288 * а - 576 > 0 или (сокращая на 36) 9 * а² + 8 * а - 16 > 0. Если выполняется последнее неравенство, то данное квадратное уравнение имеет корни х₁ = ( - (-18 * а) - √ (D)) / (2 * 9) = а - (√ (D) / 18) и х₂ = ( - (-18 * а) + √ (D)) / (2 * 9) = а + (√ (D) / 18). По условию задания, должно выполняться равенство х₂ = 2 * х₁, то есть а + (√ (D) / 18) = 2 * (а - (√ (D) / 18)) или а = 3 * (√ (D) / 18), откуда 6 * а = √ (D). Заметим, что последнее равенство и условие D > 0 позволяет утверждать, что а > 0. Возводя в квадрат обе части последнего равенства, получим 36 * а² = D = 324 * а² + 288 * а - 576, откуда 288 * а² + 288 * а - 576 = 0. Сокращая на 288, получим а² + а - 2 = 0. Решим последнее квадратное уравнение и найдём его два корня: а₁ = 1 и а₂ = - 2 - побочный корень. Итак, а = 1. Проверим последнее условие п. 1. Имеем 9 * 1² + 8 * 1 - 16 = 9 + 8 - 16 = 1 > 0. Оно выполнилось. Вычислим корни данного уравнения. Поскольку D = 324 * 1² + 288 * 1 - 576 = 324 + 288 - 576 = 36, то х₁ = а - (√ (D) / 18) = 1 - 6/18 = 1 - 1/3 = 2/3 и х₂ = а + (√ (D) / 18) = 1 + 6/18 = 1 + 1/3 = 4/3. Следовательно, заключаем: при а = 1 корнями данного уравнения будут х₁ = 2/3 и х₂ = 4/3.

Ответ: При а = 1.