В партии из 600 лампочек 200 изготовлены на первом заводе, 250 - на втором, 150 - на третьем. Для первого завода вероятность того, что лампочка окажется стандартной - 0,7; для второго - 0,92; для третьего - 0,93. Какова вероятность того, что: а) наудачу взятая лампочка бракована; б) стандартная лампочка со второго завода.

1. Гипотезы:

Ai - лампочка изготовлена на i-м заводе; P (A1) = 200/600; P (A2) = 250/600; P (A3) = 150/600.

2. Событие B, что лампочка стандартная:

P (B | A1) = 0,7; P (B | A2) = 0,92; P (B | A3) = 0,93.

3. Вероятности:

а) наудачу взятая лампочка стандартная:

P (B) = P (A1) * P (B | A1) + P (A2) * P (B | A2) + P (A3) * P (B | A3); P (B) = 200/600 * 0,7 + 250/600 * 0,92 + 150/600 * 0,93 = (140 + 230 + 139,5) / 600 = 509,5/600 = 0,8492.

б) стандартная лампочка со второго завода (апостериорная вероятность по формуле Байеса):

P (A2 | B) = P (A2) * P (B | A2) / P (B); P (A2 | B) = 230/600 : 509,5/600 = 230/509,5 = 460/1019 = 0,4514.

Ответ:

а) 0,8492. б) 0,4514.