При каких значениях x значение производной функции y = (x-3) ^5 * (2+5x) ^6 равно 0?

Сперва вычислим производную. Используем формулы вычисления производной произведения, а также производной сложной функции, получим:

y' (x) = ((x - 3) ^5) ' * (2 + 5 * x) ^6 + ((2 + 5 * x) ^6) ' * (x - 3) ^5 = 5 * (x - 3) ^4 * (2 + 5 * x) ^6 + 30 * (2 + 5 * x) ^5 * (x - 3) ^5 = 5 * (x - 3) ^4 * (2 + 5 * x) ^5 * (11 * x - 16) = 0.

Т. к. имеем произведение трёх сомножителей, которое обращено в нуль, то обращены и все сомножители, т. е.:

(x - 3) ^4 = 0, откуда х = 3;

(2 + 5 * x) ^5 = 0, откуда х = - 2 / 5;

11 * x - 16 = 0, поэтому х = 16 / 11.