Найдите все значения а, при которых уравнение 16*4^ (x) - 15=3a+a*4^ (x+3) имеет хотя бы один корень.

1. Решим уравнение относительно 4^x:

16 * 4^x - 15 = 3a + a * 4^ (x + 3); 16 * 4^x - 15 = 3a + 64a * 4^x; 16 * 4^x - 64a * 4^x = 3a + 15; 16 (1 - 4a) * 4^x = 3a + 15; 4^x = (3a + 15) / (16 (1 - 4a)). (1)

2. Уравнение (1) имеет решение, если в правой части положительное число:

(3a + 15) / (16 (1 - 4a)) > 0; 3 (a + 5) / (1 - 4a) > 0; (a + 5) (4a - 1) < 0. (2)

Корни двучленов:

a) a + 5 = 0;

a = - 5;

b) 4a - 1 = 0;

4a = 1;

a = 1/4.

Решение неравенства (2) - внутренний промежуток между двумя корнями:

a ∈ (-5; 1/4).

Ответ: (-5; 1/4).