Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=x^5 на отрезке [-1; 1]

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x^5, на отрезке [-1; 1].

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a) ' = ax^ (a - 1).

Тогда:

y' = (x^5) ' = 5 х^4.

Точки экстремума:

у' существует при всех значениях х.

y' = 0:

5 х^4 = 0,

х = 0.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Вычислим значение функции в точке экстремума и на концах отрезка:

При х = - 1, y = (-1) ^5 = - 1.

При х = 0, y = 0^5 = 0.

При х = 1, y = 1^5 = 1.

Таким образом, y_наим = у (-1) = - 1, у_наиб = у (1) = 1.

Ответ: y_наим = - 1, у_наиб = 1.