Х^4 + (а-3) х^2 + (а+10) ^2=0. При каких а уравнение имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию? Найти эти корни.

Обозначим Y = X^2, тогда имеем Y^2 + (a - 3) Y + (а+10) ^2 = 0;

Найдем корни квадратного уравнения:

Y_1,2 = ( - (a - 3) ± √ ((a-3) ^2 - 4 * (a+10) ^2)) / 2;

Упростим подкоренное выражение как разность квадратов

(a-3) ^2 - 4 * (a+10) ^2 = ((a - 3) - 2 * (a + 10)) * ((a - 3) + 2 * (a + 10)) = (a - 3 - 2a - 20) * (a - 3 + 2a + 20) = (-a - 23) * (3a + 17);

Подкоренное выражение - (a + 23) * (3a + 17) ≥ 0, это возможно только при a ≤ 0;

Допустим, (a + 23) ≤ 0 и (3a + 17) ≥ 0, это невозможно, потому что a ≤ - 23 и a ≥ - 17/3 одновременно быть не может, значит, (a + 23) ≥ 0 и (3a + 17) ≤ 0 и - 23 ≤ a ≤ - 17/3;

При a = - 7 имеем корни уравнения Y = 9 и Y = 1;

Отсюда находим X₁ = - 3; X₂ = 3; X₃ = - 1; X₄ = 1, они образуют арифметическую прогрессию - 3; - 1; 1; 3 с шагом 2.