Найдите синус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа, если косинус альфа равен 0,8

Для решения задания будем пользоваться следующими формулами: sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), tgα = sinα / cosα и ctgα = cosα / sinα. Следует отметить, что при решении заданий по тригонометрии большую роль играет значение угла. Это связано с тем что, знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается угол. Например, если cosα = 0,8, то угол α может располагается как в I, так и в IV координатной четверти. Рассмотрим два случая: а) α располагается в I координатной четверти, то есть α ∈ (0°; 90°); б) α располагается в IV координатной четверти, то есть α ∈ (270°; 360°). Случай а) α ∈ (0°; 90°). Основное тригонометрическое тождество позволяет выразить sinα через cosα. Имеем: sin²α = 1 - cos²α, откуда с учётом α ∈ (0°; 90°), получим sinα = √ (1 - cos²α) = √ (1 - 0,8²) = √ (1 - 0,64) = √ (0,36) = 0,6. Теперь найдём tgα = sinα / cosα = 0,6 / 0,8 = 6/8 = 3/4 и ctgα = cosα / sinα = 0,8 / 0,6 = 8/6 = 4/3. Случай б) α ∈ (270°; 360°). Имеем: sin²α = 1 - cos²α, откуда с учётом α ∈ (270°; 360°), получим sinα = - √ (1 - cos²α) = - √ (1 - 0,8²) = - 0,6. Следовательно, tgα = - 0,6 / 0,8 = - 3/4 и ctgα = 0,8 / (-0,6) = - 4/3.

Ответы: При α ∈ (0°; 90°) sinα = 0,6; tgα = 3/4; ctgα = 4/3. При α ∈ (270°; 360°) sinα = - 0,6; tgα = - 3/4; ctgα = - 4/3.