Дан прямоугольный треугольник АВС (∠С = 900). На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведен перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ∠АNC = ∠AMC

Если вписать прямоугольный треугольник в окружность, то гипотенуза треугольника ляжет на диаметр окружности. Впишем прямоугольный треугольник АСМ (угол С = 90°) в окружность, АМ будет диаметром окружности.

АМ является гипотенузой и треугольника ANM. Значит, окружность является описанной также около треугольника ANM.

Значит, точки А, N, M и С лежат на одной окружности.

Угол ANC - вписанный, опирается на дугу АС. Угол АМС - вписанный, также опирается на дугу АС.

Следовательно, ∠АNC = ∠AMC (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).